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nuls, il ne restera que l’équation

$[\varphi ]+[\varphi ']=0,$

dans laquelle il faudra mettre, au lieu de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},$ leurs valeurs données.

XXI.

Corollaire IV — Si les corps $\mathrm {M',M''}$ étaient liés par un même fil, de longueur donnée, le long duquel l’autre corps $\mathrm {M}$ pût couler librement par le moyen d’un anneau, on pourrait résoudre le Problème de la même manière en faisant les quantités $f,f'$ variables dans les expressions de $ds',ds''$ et de leurs différences $\delta ds',\delta ds''.$

Pour cela, il n’y aurait qu’à augmenter la valeur de $ds'^{2}$ trouvée ci-dessus (Article XVII) de la quantité

$-2(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)df+df^{2},$

et ensuite celle des $\delta ds'$ de la quantité

$(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )d\varphi \delta f-(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy-df)\delta df$

$+(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy)df\delta \varphi -\cos \varphi df\delta dx-\sin \varphi df\delta dy$

divisée par $ds'\,:$ c’est pourquoi la valeur de la formule intégrale $\int u'\delta ds'$ serait augmentée de

$\int \left\{d{\frac {\cos \varphi df}{dt}}\delta x+d{\frac {\sin \varphi df}{dt}}\delta y+{\frac {df}{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy)\delta \varphi \right.$

$\left.+\left[{\frac {d\varphi }{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )+d{\frac {1}{dt}}(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy-fd\varphi )\right]\delta \varphi \right\}$

Et l’autre formule intégrale $\int u''\delta ds''$ serait aussi augmentée de la même quantité, en marquant seulement d’un trait les deux lettres $\varphi$ et $f.$ Par là, l’équation (H) deviendrait de cette forme :

(I)

$-\int \left[(x)dx+(y)dy-(\varphi )\delta \varphi -(\varphi ')\delta \varphi '+(f)\delta f+\left(f'\right)\delta f'\right]=0.$