Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/451

Mettant cette valeur de

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''$

dans l’équation (E), et faisant égal à zéro séparément chacun des trois coefficients de $\delta x,\delta y,\delta z,$ il viendra, après avoir divisé le tout par $\mathrm {M} ,$ et mis $dt$ à la place de ${\frac {ds}{u}},$

${\begin{aligned}&d{\frac {dx}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'F} r\cos \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\cos \varphi '}{f'}}\right)dt=0,\\&d{\frac {dy}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'\ F} r\sin \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\sin \varphi '}{f'}}\right)dt=0,\\&d{\frac {dz}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'FZ} }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'Z'} }{f'}}\right)dt=0,\end{aligned}}$

Par là, les valeurs de $\varpi ,\Pi ,\Psi$ de l’Article XIV deviendront, après quelques réductions fort simples,

${\begin{aligned}&\mathrm {M} ''\left({\frac {\mathrm {G} }{g}}-{\frac {\mathrm {F} '}{f'}}\right)rr'\sin(\varphi '-\varphi )=\varpi ,\\&(\mathrm {M+M'} ){\frac {\mathrm {F} r}{f}}+\mathrm {M} ''\left\{{\frac {\mathrm {G} }{g}}\left[r-r'\cos(\varphi '-\varphi )\right]+{\frac {\mathrm {F} '}{f'}}r'\cos(\varphi '-\varphi )\right\}=\Pi .\\&\mathrm {M} '{\frac {\mathrm {FZ} }{f}}+\mathrm {M} ''\left[{\frac {\mathrm {F'Z'} }{f'}}-{\frac {\mathrm {G(Z'-Z)} }{g}}\right]=\Psi .\end{aligned}}$

XVII.

Problème IV. — Un corps $\mathrm {M}$ étant sollicité par tant de forces qu’on voudra $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ et tirant après lui deux autres corps $\mathrm {M',M''}$ par le moyen de deux fils de longueurs données, trouver le mouvement de chacun de ces trois corps. On suppose, pour plus de simplicité, qu’ils se meuvent tous trois dans le même plan.

Solution. — Soient $f,f'$ les longueurs données des fils, c’est-à-dire les distances invariables des corps $\mathrm {M',M''}$ au corps $\mathrm {M} \,;$ $x,y$ les coordonnées rectangles de la courbe décrite par le corps $\mathrm {M} ,$ et $\varphi ,\varphi '$ les angles que les lignes $f,f'$ forment à chaque instant avec l’axe des $x\,;$ prenant $x',y',$