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et de même

${\begin{aligned}\delta ds'\ =&{\frac {x'^{2}d\varphi 'd\delta \varphi '+x'd\varphi '^{2}\delta x'+dx'd\delta x'+dz'd\delta z'}{ds'}},\\\delta ds''=&{\frac {x''^{2}d\varphi ''d\delta \varphi ''+x''d\varphi ''^{2}\delta x''+dx''d\delta x''+dz''d\delta z''}{ds''}},\end{aligned}}$

et ainsi des autres. On substituera ces valeurs dans l’équation (D) de l’Article VIII et pratiquant les mêmes réductions que dans l’Article IV, elle deviendra

(F)

$\left\{{\begin{aligned}&\int \left[\mathrm {M} d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi \quad \ \ \ +\mathrm {M} \ \left(d{\frac {udx}{ds}}\quad -{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}\quad \ \right)\delta x\quad +\mathrm {M} d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right.\\&+\mathrm {M} 'd{\frac {u'x'^{2}d\varphi '}{ds'}}\delta \varphi '\quad +\mathrm {M} '\left(d{\frac {u'dx'}{ds'}}\ \,-{\frac {u'x'd\varphi '^{2}}{ds'}}\ \ \right)\delta x'\ \,+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dz'}{ds'}}\delta z'\\&+\mathrm {M} ''d{\frac {u''x''^{2}d\varphi ''}{ds''}}\delta \varphi ''+\mathrm {M} ''\left(d{\frac {u''dx''}{ds''}}-{\frac {u''x''d\varphi ''^{2}}{ds''}}\right)\delta x''+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dz''}{ds''}}\delta z''\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left(\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \right)dt{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]=0,\end{aligned}}\right.$

équation dans laquelle j’ai rejeté tous les termes qui sont hors du signe $\int ,$ parce que ces termes deviennent évidemment nuls dans la supposition que le premier et le dernier point de chaque trajectoire soient donnés. Or, cette équation étant analogue à l’équation (E) de l’Article VIII ne demandera plus que des opérations semblables pour trouver le mouvement de chaque corps. On en verra des exemples dans les Problèmes suivants.

XII.

Corollaire. — Si le système est entièrement libre ou qu’il soit simplement assujetti à se mouvoir autour d’un point fixe, et que toutes les forces sollicitatrices des corps concourent à ce point, prenant ce point pour le centre des rayons vecteurs $x,x',x'',\ldots ,$ et faisant,

$\varphi '=\varphi +\Phi ,\qquad \varphi ''=\varphi +\Phi '\ldots ,$

il est facile de voir que $\delta \varphi$ sera absolument indépendante des autres