Il faut maintenant trouver les valeurs des différences 
et cette recherche dépend, comme on le voit, de la nature des coordonnées qu’on emploie pour représenter les courbes décrites par chaque corps.
IX.
Premier cas. — Soient, comme dans l’Article I, 
trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du corps 
dans un temps quelconque, et soient de même 
d’autres coordonnées rectangles et parallèles à celles-là pour la position des autres corps 
dans le même temps ; on aura, comme dans l’Article cité,
et de même
et ainsi de suite.
Qu’on substitue ces valeurs dans l’équation (D), et qu’on fasse disparaître, comme à l’ordinaire, les différentielles de 
on aura, en négligeant tous les termes hors du signe 
qui peuvent être supposés nuls par la remarque de l’Article II,
| (E)
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![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\int &\left[\mathrm {M} d{\frac {u\ \ dx\ \ }{ds}}\delta x\,\ +\mathrm {M} \ \ d{\frac {u\ \ dy\ \ }{ds}}\delta y\ \,+\mathrm {M} \ \ d{\frac {u\ \ dz\ \ }{ds}}\delta z\right.\\+&\mathrm {M} '\,d{\frac {u'\ dx'\ }{ds'}}\delta x'\,+\mathrm {M} '\ d{\frac {u'\ dy'\ }{ds'}}\delta y'+\mathrm {M} '\ d{\frac {u'\ dz'\ }{ds'}}\delta z'\\+&\mathrm {M} ''d{\frac {u''dx''}{ds''}}\delta x''+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dy''}{ds''}}\delta y''+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dz''}{ds''}}\delta z''\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad \qquad \left.-\left(\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} '\delta u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \right)dt{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]=0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920436576ee33b2353be735409e8ae6da8c7643e)
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Il ne s’agira plus maintenant que de substituer dans cette équation, au lieu de
