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VIII.

Problème II général. — Soit un système quelconque de plusieurs corps, $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ qui soient sollicités par tant de forces centrales qu’on voudra, savoir : $\mathrm {M}$ par les forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots \,;$ $\mathrm {M} '$ par les forces $\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots \,;$ $\mathrm {M} ''$ par les forces $\mathrm {P'',Q'',R''} ,\ldots ,$ et qui agissent de plus les uns sur les autres par des forces quelconques d’attraction mutuelle ; trouver le mouvement de chacun de ces corps.

Solution. — Tout se réduit à rendre la formule

$\mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots$

un maximum ou un minimum. On fera donc, suivant notre méthode,

$\delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)+\delta \left(\mathrm {M} '\int u'ds'\right)+\delta \left(\mathrm {M} ''\int u''ds''\right)+\ldots =0.$

Or, à cause que $\mathrm {M}$ est constant (Article I),

$\delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)=\mathrm {M} \delta \int uds=\mathrm {M} \int (u\delta ds+u\delta udt)=\int \mathrm {M} (u\delta uds+u\delta udt).$

On trouvera de même, en substituant toujours $dt$ pour ${\frac {ds'}{u'}},{\frac {ds''}{u''}},\ldots ,$

${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {M} '\ \int u'\ ds'\ \right)=&\int \mathrm {M} '\ (u'\ \delta u'\ ds+u'\ \delta u'\ dt),\\\delta \left(\mathrm {M} ''\int u''ds''\right)=&\int \mathrm {M} ''(u''\delta u''ds+u''\delta u''dt),\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; on aura donc l’équation

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\int &\left[\mathrm {M} u\delta ds+\mathrm {M} 'u'\delta ds'+\mathrm {M} ''u''\delta ds''+\ldots \right.\\&\qquad +\left.(Mu\delta u+M'u'\delta u'+M''u''\delta u''+\ldots )dt\right]=0.\end{aligned}}\right.$

Maintenant, soient $p,q,r,\ldots$ les distances du corps $\mathrm {M}$ aux centres des forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ et $p',q',r',\ldots$ $p'',q'',r'',\ldots$ celles des autres corps