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sera donnée par une équation différentielle du troisième ordre et au delà, et cette expression sera toujours susceptible de la méthode expliquée dans le Problème II.

XIV.

Remarque. — L’équation de condition

est du second ordre, et ne peut être intégrée que dans certains cas particuliers ; mais notre solution n’en est pas moins générale, car, pour délivrer l’équation du maximum ou du minimum de l’inconnue il ne faudra que la combiner avec la précédente par le moyen de plusieurs différentiations réitérées ; il n’y aura de difficulté que la longueur du calcul.

XV.

Scolie. — Il est clair que la méthode du Corollaire précédent suffit pour déterminer les maxima et les minima de toutes les formules intégrales imaginables ; car dénotant par la formule proposée, il sera toujours possible d’exprimer par une équation différentielle qui ne renferme aucun signe d’intégration ; ainsi l’on aura, en différentiant par une nouvelle équation qui contiendra avec ses différences et l’on en tirera l’expression intégrale de et par conséquent l’équation du maximum ou minimum par les règles enseignées.


Appendice I.

Par la méthode qui vient d’être expliquée on peut aussi chercher les maxima et les minima des surfaces courbes, d’une manière plus générale qu’on ne l’a fait jusqu’ici.

Pour ne donner là-dessus qu’un exemple très-simple, supposons qu’il faille trouver la surface qui est la moindre de toutes celles qui ont un même périmètre donné.