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XIII.

Corollaire. — Supposons que dans l’équation différentielle proposée il se trouve des différences de $\mathrm {Z}$ du second ordre, de sorte qu’en différentiant par $\delta$ il vienne

$\delta d^{2}\mathrm {Z+T} \delta d\mathrm {Z+U} \delta \mathrm {Z} =n\delta x+p\delta dx+\ldots .$

Je commence par mettre la caractéristique $d$ avant la caractéristique $\delta \,;$ ensuite, je multiplie toute l’équation par une variable indéterminée $\alpha ,$ et j’en prends la somme, en affectant les deux membres du signe $\int \,;$ après, je transforme le premier membre

$\int \left(\alpha d^{2}\delta \mathrm {Z} +\alpha \mathrm {T} d\delta \mathrm {Z} +\alpha \mathrm {U} \delta \mathrm {Z} \right)$

en

$\alpha d\delta \mathrm {Z} +(\alpha \mathrm {T} -d\alpha )\delta \mathrm {Z} +\int \left[\alpha \mathrm {U} -d(\alpha \mathrm {T} -d\alpha )\right]\delta \mathrm {Z} ,$

et supposant $\alpha$ tel que

$\alpha \mathrm {U} -d(\alpha \mathrm {T} -d\alpha )=0,$

j’ai l’équation

$d\delta \mathrm {Z} {\frac {\alpha \mathrm {T} -d\alpha }{\alpha }}\delta \mathrm {Z} ={\frac {1}{\alpha }}\int (n\delta x+p\delta dx+\ldots )\alpha \,;$

d’où l’on tire aisément

$\delta \mathrm {Z} =e^{-\int \mathrm {T} }\int {\frac {e^{\int \mathrm {T} }}{\alpha }}\int (n\delta x+p\delta dx+\ldots )\alpha ,$

$\mathrm {T}$ étant mis pour ${\frac {\alpha \mathrm {T} -d\alpha }{\alpha }}\,;$ et enfin

$\delta \int \mathrm {Z} =\int e^{-\int \mathrm {T} }\int {\frac {e^{\int \mathrm {T} }}{\alpha }}\int (n\delta x+p\delta dx+\ldots )\alpha ,$

formule qui est dans le cas de celle qu’on a traitée dans l’Article X.

Par des procédés semblables, on trouvera l’expression de $\delta \int \mathrm {Z}$ lorsque