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donc

${\begin{aligned}dy=&\delta \mathrm {A} dx+\mathrm {A} \delta dx,\\\delta d^{2}y=&\delta \mathrm {B} dx^{2}+\delta \mathrm {A} d^{2}x+2\mathrm {B} dx\delta dx+\mathrm {A} \delta d^{2}x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on trouvera de même

${\begin{aligned}\delta dz=&\delta \alpha dx+\alpha \delta dx,\\\delta dz=&\delta \beta dx^{2}+\delta \alpha d^{2}x+2\beta dx\delta dx+\alpha \delta d^{2}x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans l’expression de $\delta \mathrm {Z} ,$ de l’Article I, et ordonnant les termes, on aura

${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} =&n\delta x+(p+\mathrm {PA} +2\mathrm {QB} dx+\ldots +\varpi \alpha +2\chi \beta dx+\ldots )\delta dx\\&+(q+\mathrm {QA} +\ldots +\chi \alpha +\ldots )\delta d^{2}x\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {N} \delta y+\nu \delta z+\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} d^{2}x+\ldots \right)\delta \mathrm {A} +\left(\mathrm {Q} dx^{2}+\ldots \right)\delta \mathrm {B} +\ldots \\&+\left(\varpi dx+\chi d^{2}x+\ldots \right)\delta \alpha +\left(\chi dx^{2}+\ldots \right)\delta \beta \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Cette valeur de $\delta \mathrm {Z}$ doit être identique avec celle qu’on a trouvée précédemment ; comparant donc les termes affectés de $\delta dx,\delta d^{2}x,\ldots ,$ on aura les équations

${\frac {\mathrm {Z} }{dx}}=p+\mathrm {PA} +2\mathrm {QB} dx+\ldots +\varpi \alpha +2\chi \beta dx+\ldots ,$

$q+\mathrm {QA} +\ldots +\chi \alpha +\ldots =0.$

La seconde étant différentiée et ensuite retranchée de la première, on a

${\frac {\mathrm {Z} }{dx}}=p-dq+\ldots +\mathrm {PA+QB} dx-\mathrm {A} d\mathrm {Q} +\ldots +\varpi \alpha +\chi \beta dx-\alpha d\chi +\ldots =0.$

La même équation étant multipliée par $d^{2}x$ et ensuite ajoutée à celle-ci, multipliée par $dx,$ il vient

$\mathrm {Z} =pdx+\mathrm {P} dy+\varpi dz+qd^{2}x-dqdx+\mathrm {Q} d^{2}y-d\mathrm {Q} dy+\chi d^{2}z-d\chi dz+\ldots .$