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seconde par ${\frac {2dy}{{\sqrt {x}}ds}}$ et les joignant ensemble, on trouve, après toutes les réductions,

$-d{\frac {1}{x}}-{\frac {dx}{x^{2}}}=0.$

On prendra donc une de ces équations à volonté, et on la combinera avec l’équation $dz=pdx+qdx,$ pour avoir la brachistochrone cherchée.

VI.

À l’égard de l’équation (C), il est clair que tous les termes de cette équation s’évanouiront lorsqu’on supposera donnés le premier et le dernier point de la courbe ; mais si l’un d’eux était arbitraire, alors ayant substitué, au lieu de $\delta z,$ sa valeur $p\delta x+q\delta y,$ on aurait les équations

$p{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0\quad {\text{et}}\quad q{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

qu’il faudrait vérifier par rapport à ce point. Mais, si l’on avait tracé sur la surface une courbe à laquelle le mobile dût arriver dans le temps le plus court, supposant cette courbe donnée par l’équation

$dy=mdx,$

on aurait de même

$\delta y=m\delta x\,;$

et, cette valeur de $\delta y$ étant substituée dans l’équation (C), on ferait

$p{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}+\left(q{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}\right)m=0,$

ou bien

$(p+qm)dz+dx+mdy=0,$

équation qui renferme les conditions nécessaires pour que la brachistochrone rencontre à angles droits la courbe proposée.