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et puisque ${\frac {dy}{dz}}={\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a}}},$ on aura en intégrant, sans ajouter de constante, parce que je suppose que l’axe des $x$ passe par la courbe même

$z=y{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\,;$

d’où l’on tire

$z=t{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {a+b}}},\quad y=t{\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a+b}}},\quad dy=dt{\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a+b}}},\quad ds={\sqrt {dx^{2}+dt^{2}}},$

et enfin

${\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}={\frac {\sqrt {b}}{{\sqrt {a+b}}{\sqrt {x}}}}{\frac {dt}{\sqrt {dx^{2}+dt^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}},$

ce qui se réduit, en posant ${\frac {ab}{a+b}}=c,$ à

$dt={\frac {{\sqrt {x}}dx}{\sqrt {c-x}}},$

équation d’une cycloïde décrite sur une base horizontale par un cercle, dont le diamètre est égal à $c.$

IV.

Maintenant, si le premier et le dernier point de la brachistochrone sont donnés, il est clair que, les coordonnées $x,y,z$ étant invariables pour ces points, leurs différences $\delta x,\delta y,\delta z,d\delta x,d\delta y,\ldots$ seront nulles, et par conséquent aussi tous les termes de l’équation (C) ; la constante $c$ devra donc être déterminée en sorte que la cycloïde passe par les deux points donnés.

Si le premier point est donné, et que la brachistochrone doive être telle qu’un corps partant de ce point arrive dans le moindre temps à un plan horizontal donné, alors ${\grave {\,}}\!\mathrm {M}$ sera nul de lui-même, et l’équation (C) donnera $\mathrm {M} '=0,$ savoir

${\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}\delta x+{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}\delta y+{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}\delta z=0,$