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d’où l’on tirera premièrement l’équation indéfinie

(B)

$\left\{{\begin{aligned}&\left(n\,-dp\ +d^{2}q\,\ -d^{3}r\ +\ldots \right)\delta x\\+&\left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} \,+d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots \right)\delta y\\+&\left(\nu \ -d\varpi +d^{2}\chi \ -d^{3}\rho \,+\ldots \right)\delta z=0,\end{aligned}}\right.$

et ensuite l’équation déterminée

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&\left(p\ -dq\,\ +d^{2}r\ -\ldots \right)\delta x+(q\,-dr\,\ +\ldots )d\delta x+(r\ -\ldots )d^{2}\delta x\\+&\left(\mathrm {P} \,-d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {R} -\ldots \right)\delta y+(\mathrm {Q} -d\mathrm {R} +\ldots )d\delta y+(\mathrm {R} -\ldots )d^{2}\delta y\\+&\left(\varpi -d\chi \,+d^{2}\rho \ -\ldots \right)\delta z+(\chi \,-d\rho \ +\ldots )d\delta z+(p\ -\ldots )d^{2}\delta z\\+&\ldots =0.\end{aligned}}\right.$

Cette équation se rapporte au dernier point de l’intégrale $\int \mathrm {Z} \,;$ mais il faut observer que, comme chacun de ses termes comme p\delta x dépend d’une intégration partielle de la formule $\int pd\delta x,$ on peut lui ajouter ou en retrancher une quantité constante. Or, la condition par laquelle cette constante doit se déterminer est qu’elle fasse évanouir le terme $p\delta x$ au point où commence l’intégrale $\int pd\delta x\,:$ il faudra donc retrancher de $p\delta x$ sa valeur en ce point ; d’où résulte la règle suivante. Soit le premier membre de l’équation (C), exprimé généralement par $\mathrm {M} ,$ et soit la valeur de $\mathrm {M} ,$ au point où commence l’intégrale $\int \mathrm {Z} ,$ désignée par ${\grave {\,}}\!\mathrm {M} ,$ et au point où cette intégrale finit, désignée par $\mathrm {M} ',$ on aura $\mathrm {M'-{\grave {\,}}\!M} =0$ pour l’expression complète de l’équation (C).

Maintenant, pour se défaire dans les équations trouvées des différences indéterminées $\delta x,\delta y,\delta z,d\delta x,d\delta y,\ldots$, on examinera d’abord si, par la nature du Problème, il y a entre elles quelque rapport donné, et les ayant réduites au plus petit nombre possible, on fera ensuite le coefficient de chacune de celles qui resteront égales à zéro. Si elles sont absolument indépendantes les unes des autres, l’équation (B) nous donnera sur-le-champ les trois suivantes :

${\begin{aligned}&n\,-dp\,+d^{2}q\ -d^{3}r\ +\ldots =0,\\&\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots =0,\\&\nu \ -d\varpi +d^{2}\chi -d^{3}\rho \ +\ldots =0.\end{aligned}}$