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Maintenant, au lieu de substituer ces valeurs de $p,q,r$ dans les équations en $x,y,z,$ je multiplie ces mêmes équations telles qu’elles sont par un coefficient indéterminé $\mathrm {H} ,$ et j’ajoute chacune d’elles avec sa correspondante d’entre les trois autres $(p),\ (q),\ (r),$ ce qui me donne

${\begin{aligned}\mathrm {H} \alpha x+(\beta -\mathrm {H} )p+&\mathrm {H} {\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {X} ^{2}}}+\mathrm {H} {\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}\\&\ \qquad \qquad \qquad +\mathrm {H} {\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{2}r}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=0,\\\mathrm {H} \alpha y+(\beta -\mathrm {H} )q+&\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\\\mathrm {H} \alpha z+(\beta -\mathrm {H} )r+&\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}$

Soit donc fait

$\beta -\mathrm {H} =\alpha ,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {H} =\beta -\alpha ,$

et supposant pour abréger

$\mathrm {H} x+p=p',\qquad \mathrm {H} y+q=q',\qquad \mathrm {H} z+r=r',$

on aura

${\begin{aligned}\alpha p'+{\frac {d^{2}p'}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}q'}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+\ {\frac {d^{2}r'}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=&0,\\\alpha q'+{\frac {d^{2}q'}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+\,{\frac {d^{2}r'}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{2}p'}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}=&0,\\\alpha r'+{\frac {d^{2}r'}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+\,{\frac {d^{2}p'}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}q'}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}=&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera comme ci-dessus

${\begin{aligned}p'=&\mathrm {A} \varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\q'=&\mathrm {A} \psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\r'=&\mathrm {A} \chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ marquant une nouvelle constante arbitraire.

Or, les conditions qui déterminent les constantes de $p,q,r$ étant les mêmes que celles qui déterminent les constantes de $x,y,z,$ par ce qui a été dit ci-dessus, elles seront encore les mêmes pour les constantes de $p',q',r',$ d’où il s’ensuit qu’on aura aussi pour $\alpha$ les mêmes valeurs que pour $\beta ,$ savoir les mêmes que celles de la quantité $-k.$

Maintenant, comme

$x={\frac {p'-p}{\mathrm {H} }},\qquad y={\frac {q'-q}{\mathrm {H} }},\qquad z={\frac {r'-r}{\mathrm {H} }},$