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l’équation

$\int (x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} =0,$

en faisant séparément

${\begin{alignedat}{2}(a)&\qquad \qquad \qquad &\alpha x+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=&0,\\(b)&&\alpha y+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}=&0,\\(c)&&\alpha z+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}=&0,\end{alignedat}}$

d’où l’on tirera les valeurs de $x,y,z$ qu’on pourra exprimer généralement ainsi :

${\begin{aligned}x=&\mathrm {A} \varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\y=&\mathrm {A} \psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\z=&\mathrm {A} \chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\\end{aligned}}$

les lettres $\varphi ,\psi ,\chi$ marquant des fonctions variables données.

La constante $\mathrm {A}$ peut être quelconque et même une fonction du temps $t,$ qui est ici regardé comme constant, mais les autres constantes qui se trouveront dans les fonctions $\varphi ,\psi ,\chi$ devront être déterminées par les conditions qu’on supposera aux quantités $x,y,z,$ conditions qui dépendront dans le cas présent de la figure du tuyau qui renferme les particules mobiles de l’air.

À l’égard de la constante $\alpha ,$ elle sera susceptible d’une infinité de valeurs qui seront les mêmes précisément que celle de la quantité $k,$ mais prises négativement ; ce qu’on peut démontrer en général de la manière suivante. Les équations trouvées (a), (b), (c), comparées avec les équations fondamentales du n^o 10, donnent

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&-c\alpha x,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&-c\alpha y,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&-c\alpha z\,;\end{aligned}}$