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suivant la variable $\mathrm {Y}$ et divisée par $d\mathrm {Y} ,$ à la seconde, différentiée suivant la variable $\mathrm {X}$ et divisée par $d\mathrm {X} ,$ je trouve

${\frac {d\mathrm {L} }{d\mathrm {Y} }}={\frac {d\mathrm {M} }{d\mathrm {X} }}\,;$

et de même, comparant la première, différentiée suivant $\mathrm {Z}$ et divisée par $d\mathrm {Z} ,$ à la troisième, différentiée suivant $\mathrm {X}$ et divisée par $d\mathrm {X} ,$ j’ai

${\frac {d\mathrm {L} }{d\mathrm {Z} }}={\frac {d\mathrm {N} }{d\mathrm {X} }}\,;$

posons dans ces deux équations $\mathrm {X} =a$, de sorte que

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {Y} }}=&{\frac {d\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }},\\{\frac {d\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {Z} }}=&{\frac {d\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }},\end{aligned}}$

or, ayant en général

$\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}=0,$

on aura aussi

${\frac {d\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {Y} }}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {Z} }}=0\,;$

donc

${\frac {d\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}=0.$

Supposons maintenant $\mathrm {X} =a+u$ dans les fonctions indéterminées $\mathrm {M^{(X,Y,Z)},N^{(X,Y,Z)}}$ et développons-les en poussant les séries jusqu’aux infiniment petits du second ordre ; on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} ^{(a+u,\mathrm {Y,Z} )}=&\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}+u{\frac {d\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}+{\frac {u^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} ^{2}}},\\\mathrm {N} ^{(a+u,\mathrm {Y,Z} )}=&\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}+u{\frac {d\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}+{\frac {u^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} ^{2}}},\end{aligned}}$