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(G)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {M} +&{\frac {1}{2}}t^{2}ck\mathrm {M} +{\frac {1}{2.3.4}}t^{4}c^{2}k^{2}\mathrm {M} \\=&\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}t^{2}c\left({\frac {d^{2}\mathrm {M} }{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right)\\&+{\frac {1}{2.3.4}}t^{4}c^{2}\left({\frac {d^{4}\mathrm {M} }{d\mathrm {Y} ^{4}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {M} }{d\mathrm {Y} ^{2}d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {M} }{d\mathrm {Y} ^{2}d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {L} }{d\mathrm {Y} ^{3}d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{4}\mathrm {L} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} ^{3}}}\right.\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {d^{4}\mathrm {L} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {N} }{d\mathrm {Y} ^{3}d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{4}\mathrm {N} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ^{3}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {N} }{d\mathrm {X} ^{2}d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right).\end{aligned}}\right.$

(H)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {N} +&{\frac {1}{2}}t^{2}ck\mathrm {N} +{\frac {1}{2.3.4}}t^{4}c^{2}k^{2}\mathrm {N} \\=&\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}t^{2}c\left({\frac {d^{2}\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\right)\\&+{\frac {1}{2.3.4}}t^{4}c^{2}\left({\frac {d^{4}\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} ^{4}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} ^{2}d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} ^{2}d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {L} }{d\mathrm {Z} ^{3}d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{4}\mathrm {L} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} ^{3}}}\right.\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {d^{4}\mathrm {L} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} ^{2}d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{4}\mathrm {M} }{d\mathrm {Z} ^{3}d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{4}\mathrm {M} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} ^{3}}}+{\frac {d^{4}\mathrm {M} }{d\mathrm {X} ^{2}d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right).\end{aligned}}\right.$

Or, quelles que soient les valeurs des quantités $\mathrm {L,M,N} ,$ il est certain qu’elles seront des fonctions de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ ce que nous dénoterons ainsi

$\mathrm {L^{(X,Y,Z)},\quad M^{(X,Y,Z)},\quad N^{(X,Y,Z)}} \,;$

de sorte que, si l’on suppose que les variables $\mathrm {X,Y,Z}$ deviennent $\mathrm {X} +pt,$$\mathrm {Y} +qt,\ \mathrm {Z} +rt,$ les valeurs correspondantes de $\mathrm {L,M,N}$ s’exprimeront à notre manière par

$\mathrm {L} ^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)},\quad \mathrm {M} ^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)},\quad \mathrm {N} ^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)}.$

Cela posé, on sait que si $\mathrm {L}$ représente une fonction quelconque de la variable $\mathrm {X} ,$ laquelle croisse d’une quantité très-petite $pt,$ la valeur de $\mathrm {L}$ deviendra, en négligeant les quantités infiniment petites au-dessus du quatrième ordre,

$\mathrm {L} +pt{\frac {d\mathrm {L} }{d\mathrm {X} }}+{\frac {1}{2}}p^{2}t^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{d^{2}\mathrm {X} }}+{\frac {1}{2.3}}p^{3}t^{3}{\frac {d^{3}\mathrm {L} }{d^{3}\mathrm {X} }}+{\frac {1}{2.3.4}}p^{4}t^{4}{\frac {d^{4}\mathrm {L} }{d^{4}\mathrm {X} }}\,;$

donc, si l’on suppose que la fonction $\mathrm {L}$ renferme, outre la variable $\mathrm {X} ,$ les