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et réduisant $\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)$ et $\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)$ en exponentielles imaginaires, on aura

$\int \left[\mathrm {A} x+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z\right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z}$

$={\frac {1}{2}}\int \left[\mathrm {A} (x)+\mathrm {B} (y)+\mathrm {C} (z)-{\frac {1}{\sqrt {c}}}p\mathrm {A} \int (x')d\mathrm {X} -{\frac {1}{\sqrt {c}}}q\mathrm {B} \int (y')d\mathrm {Y} \right.$

$\left.-{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z}$

$+{\frac {1}{2}}\int \left[\mathrm {A} (x)+\mathrm {B} (y)+\mathrm {C} (z)+{\frac {1}{\sqrt {c}}}p\mathrm {A} \int (x')d\mathrm {X} +{\frac {1}{\sqrt {c}}}q\mathrm {B} \int (y')d\mathrm {Y} \right.$

$\left.+{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .$

équation d’où l’on tirera, suivant notre méthode,

${\begin{aligned}\mathrm {A} x&+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z\\&={\frac {1}{2}}\int \left[\mathrm {A} (x)+\mathrm {B} (y)+\mathrm {C} (z)+{\frac {1}{\sqrt {c}}}p\mathrm {A} \int (x')d\mathrm {X} \right.\\&\qquad \left.+{\frac {1}{\sqrt {c}}}q\mathrm {B} \int (y')d\mathrm {Y} +{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]^{\left(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} +t{\sqrt {c}}\right)}\\&+{\frac {1}{2}}\int \left[\mathrm {A} (x)+\mathrm {B} (y)+\mathrm {C} (z)-{\frac {1}{\sqrt {c}}}p\mathrm {A} \int (x')d\mathrm {X} \right.\\&\qquad \left.-{\frac {1}{\sqrt {c}}}q\mathrm {B} \int (y')d\mathrm {Y} -{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]^{\left(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} -t{\sqrt {c}}\right)}\end{aligned}}$

Les quantités mises en forme d’exposants dénotent, comme dans le Problème I, les valeurs qu’il faut donner aux coordonnées ; ainsi $\mathrm {X,Y,Z}$ étant les coordonnées qui répondent à $x,y,z,$ et $\mathrm {(X),(Y),(Z)}$ étant supposées celles qui répondent aux expressions qui ont l’exposant $p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} \pm t{\sqrt {c}},$ les valeurs de ces dernières devront être telles, que

$p(\mathrm {X} )+q(\mathrm {Y} )+r(\mathrm {Z} .)=p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} \pm t{\sqrt {c}}.$

Au reste, si l’on introduit dans cette solution les fonctions indéterminées, elle reviendra au même que celle que M. Euler a donnée dans son Mémoire, car on aura

$\mathrm {A} x+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z=\varphi \left(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} +t{\sqrt {c}}\right)+\psi \left(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} -t{\sqrt {c}}\right)\,;$