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d’où l’on tirera, comme dans le Problème I,

${\begin{aligned}s=&\mathrm {S} \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)+{\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {-ck}}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right),\\r=&\mathrm {R} \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)-\mathrm {S} {\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right).\end{aligned}}$

Or, soient

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z',$

et que $(x),(y),(z),(x'),(y'),(z')$ désignent les valeurs de $x,y,z,$$x',y',z',$ lorsque $t=0\,;$ on aura donc

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\int &(x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&\quad +{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\end{aligned}}\right.$

(E)

$\quad \left\{{\begin{aligned}\int &(x'\mathrm {L} +y'\mathrm {M} +z'\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&\quad -{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}\right.$

Voilà les équations d’où l’on tirerait, suivant notre méthode, les valeurs exactes de $x,y,z,$ si l’on avait celles de $\mathrm {L,M,N} ,$ et qu’on put faire disparaître la quantité $k,$ ainsi qu’on l’a fait dans les Problèmes précédents.

Mais le premier de ces objets nous présente d’abord des difficultés insurmontables, soit qu’en effet les équations (A), (B), (C) ne soient pas susceptibles d’intégration, soit qu’elles demandent d’autres méthodes que celles que nous connaissons. Si on voulait se borner à des constructions particulières, il serait aisé d’en trouver, mais elles ne sauraient être d’aucune utilité dans la recherche des lois de la propagation du son.