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des fonctions indéterminées de $x-{\frac {t}{m}}$ et de $x-{\frac {t}{n}},$ et faisant les substitutions et les réductions nécessaires, on trouvera pour $\alpha$ et $\beta$ des formules analogues à celles que cet Auteur a données. Quoique j’aie fait tous les calculs que cette comparaison demande, je ne les insérerai point ici pour ne pas passer les bornes que je me suis prescrites dans cette Dissertation.

41. Problème V. — Construire l’équation ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+c{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}+y.$

En suivant notre méthode, on parviendra aux mêmes équations $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} )$ du Problème précédent, avec cette seule différence que la quantité $\mathrm {M}$ sera maintenant égale à

$\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)-x{\sqrt {-k}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)$

comme dans le Problème II, ce qui rendra l’expression $\int \mathrm {M} ydx$ composée des deux termes

$\int \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)ydx-{\sqrt {-k}}\int \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)yxdx\,;$

on aura donc dans l’équation (A)

${\begin{aligned}{\frac {1}{2{\sqrt {ck}}}}\int \mathrm {M} ydx&={\frac {1}{2{\sqrt {ck}}}}\int \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)ydx+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}{\sqrt {-1}}}}\int \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)yxdx\\&={\frac {1}{2{\sqrt {c}}{\sqrt {-1}}}}\int \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\left(\int ydx+xy\right)dx,\end{aligned}}$

en réduisant le premier terme, comme on l’a fait dans le Problème précédent. Il faudra pourtant observer que l’intégrale $\int ydx$ soit prise de manière qu’elle s’évanouisse lorsque $x=a,$ afin que le terme

${\frac {\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int ydx}{\sqrt {ck}}}$

que nous négligeons s’évanouisse de même. Supposant donc maintenant $\int ydx+xy=\mathrm {Y} ,$ et faisant les autres observations et réductions suivant les principes établis dans les Problèmes II et IV, on trouvera que la