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derniers termes de la formule précédente se changeront, selon ce qui a été enseigné plus haut, en ceux-ci :

$\int \left(\int \mathrm {P} dt\right)e^{mkx}dx-\int \left(\int \mathrm {Q} dt\right)e^{nkx}dx.$

Maintenant, puisque $m$ est supposé différent de $n,$ il est clair que les quantités exponentielles $e^{mkx},e^{nkx}$ et $e^{(mx+t)k},e^{(nx+t)k}$ ne sauraient jamais devenir égales ; donc il faudra nécessairement décomposer l’équation en deux, afin d’en chasser la quantité $k\,;$ par ce moyen, on trouvera, en retenant les expressions employées dans le Problème \mathrm I,

${\begin{aligned}u-cm{\frac {dz}{dx}}=&\left(\mathrm {U} -cm{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x-{\frac {t}{m}}\right)}+\int \mathrm {P} dt.\\u-cn{\frac {dz}{dx}}=&\left(\mathrm {U} -cn{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x-{\frac {t}{n}}\right)}+\int \mathrm {Q} dt.\end{aligned}}$

S’il arrivait que $n=m,$ alors, la première de ces équations demeurant la même, on ne ferait qu’augmenter $n$ d’une quantité infiniment petite $\alpha ,$ c’est-à-dire on supposerait $n=m+\alpha ,$ et, ôtant la première équation de la seconde, il viendrait, après avoir divisé par $\alpha ,$

${\frac {dz}{dx}}=\left[{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}-{\frac {d\left(\mathrm {U} -cm{\cfrac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)}{dx}}{\frac {t}{cm^{2}}}\right]^{\left(x-{\frac {t}{m}}\right)}+\int {\frac {d\mathrm {P} }{dp}}{\frac {p+t}{cm^{2}}}dt.$

Si $n$ était infini, ce qui arrivera lorsque $c=0,$ alors on aurait aussi $cn=0,$ et la seconde équation deviendrait

$u=\mathrm {U} ^{(x)}+\int \mathrm {Q} dt.$

Si l’on veut maintenant comparer les résultats de cette solution avec ceux de M. d’Alembert, on prendra pour

$\left(\mathrm {U} -cm{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x-{\frac {t}{m}}\right)}\quad {\text{et}}\quad \left(\mathrm {U} -cn{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x-{\frac {t}{n}}\right)}$