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ce qui donne, en substituant et différentiant,

équation qui reviendra au même que celle du Problème précédent, si l’on pose au lieu de au lieu de au lieu de au lieu de et au lieu de

Si d’un côté la solution de M. d’Alembert est plus simple que la nôtre, de l’autre elle paraît insuffisante pour les cas où les valeurs de seraient prises à volonté lorsque et c’est précisément dans ces cas que rentre la question qui est l’objet du Problème précédent. Au reste, si l’on introduit dans notre solution, au lieu de et de des fonctions indéterminées, on en tirera des formules analogues à celles que M. d’Alembert a trouvées par sa méthode. Il est vrai que nos formules se présenteront sous une autre forme que celles de cet Auteur ; mais la comparaison n’en sera pas difficile et ne demandera d’ailleurs qu’un peu d’adresse de calcul ; c’est pourquoi je ne m’y arrêterai pas.

40. Scolie II. — Ce savant Géomètre a encore rendu l’usage de sa méthode plus général en l’appliquant à déterminer les quantités et par les conditions que

soient l’une et l’autre des différentielles complètes. Faisant

et substituant dans la seconde différentielle les valeurs de et en on trouvera par les conditions de l’intégrabilité l’équation suivante :

qui peut se rapporter à cette forme,