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en celles-ci :

$\int dp\int e^{p{\sqrt {k}}}\mathrm {P} dt\quad {\text{et}}\quad \int dq\int e^{-q{\sqrt {k}}}\mathrm {Q} dt.$

qui ont les mêmes valeurs, quoique sous des formes différentes. Dans ces dernières expressions, les intégrations $\int e^{p{\sqrt {k}}}\mathrm {P} dt$ et $\int e^{-q{\sqrt {k}}}\mathrm {Q} dt$ devront se faire en variant seulement $t\,;$ donc, si on suppose que les intégrales $\int \mathrm {P} dt$ et $\int \mathrm {Q} dt$ soient prises avec cette condition, on aura

$e^{p{\sqrt {k}}}\int \mathrm {P} dt\quad {\text{et}}\quad \int e^{-q{\sqrt {k}}}\int \mathrm {Q} dt,$

ce qui donnera les transformées

$\int e^{p{\sqrt {k}}}dp\int \mathrm {P} dt\quad {\text{et}}\quad \int e^{-q{\sqrt {k}}}dq\int \mathrm {Q} dt,$

dans lesquelles il faudra faire maintenant $p$ et $q$ variables, et $t$ constante ; or, à cause que les quantités $\int \mathrm {P} dt$ et $\int \mathrm {Q} dt$ ne contiennent point de $x,$ il est visible qu’il reviendra au même d’intégrer $e^{p{\sqrt {k}}}dp\int \mathrm {P} dt$ et $e^{-q{\sqrt {k}}}dq\int \mathrm {Q} dt,$ en supposant $p$ et $q$ seuls variables, et de remettre après l’intégration, au lieu de $p$ et $q,$ leurs valeurs $x-t{\sqrt {c}}$ et $x+t{\sqrt {c}},$ que de restituer d’abord ces valeurs à la place de $p$ et de $q,$ et d’intégrer ensuite en faisant varier $x\,;$ d’où il s’ensuit qu’on aura

$\int dx\int e^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}\ \ \mathrm {Y} dt=\int dp\int e^{p{\sqrt {k}}}\ \ \mathrm {P} dt=\int e^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}dx\int \mathrm {P} dt,$

$\int dx\int e^{-\left(x+t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}\mathrm {Y} dt=\int dq\int e^{-q{\sqrt {k}}}\mathrm {Q} dt=\int e^{-\left(x+t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}dx\int \mathrm {Q} dt.$

Par conséquent la transformée cherchée du terme

${\frac {1}{2{\sqrt {ck}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int e^{-t{\sqrt {ck}}}dt\int \mathrm {M} ydx$

deviendra, après toutes les substitutions,

${\frac {1}{4{\sqrt {-1}}{\sqrt {c}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int e^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}dx\int \mathrm {P} dt+{\frac {1}{4{\sqrt {-1}}{\sqrt {c}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int e^{-\left(x+t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}dx\int \mathrm {Q} dt.$