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il vient

$bu^{2}{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}q}{ds^{2}}}+(2v-u+1+mu){\frac {d{\cfrac {q}{s}}}{ds}},$

équation qui a la même forme que celle du Problème cité, et qui par conséquent est susceptible des mêmes solutions. Lorsque $m=n,$ on a $u=1$ et $v=-1$ ou $v=-m\,:$ la première racine rend le coefficient de ${\frac {d{\cfrac {q}{s}}}{ds}}$ égal à $m-2$ et la seconde le rend égal à $-m,$ ce qui conduit aux mêmes conclusions que plus haut. Au reste, il est visible que le Problème présent renferme dans sa généralité tous ceux dont nous avons traité dans ce Chapitre.

36. Scolie ii. — L’équation

$k\mathrm {M} ={\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}},$

étant transformée par la substitution de $fs^{\frac {1}{1+m}}$ au lieu de $x,$ devient

${\frac {f^{2}k}{(1+m)^{2}}}\mathrm {M} s^{\frac {2m}{1+m}}={\frac {d^{2}\mathrm {M} }{ds^{2}}},$

et, faisant ensuite $\mathrm {M} =e^{\int yds},$

${\frac {dy}{ds}}+y^{2}={\frac {f^{2}k}{(1+m)}}s^{\frac {2m}{1+m}},$

qui est l’équation même de Riccati. Les formules trouvées dans la solution du Problème III donnent, comme on le voit, une construction générale de cette équation ; mais il faut remarquer que ces formules ne sont encore que des cas particuliers des intégrales complètes, qui résultent de la supposition de quelques constantes égales à zéro ; pour les compléter on joindra à la valeur déjà trouvée de $y$ la quantité ${\frac {e^{-2\int yds}}{\int e^{-2\int yds}ds}},$ ce qui est facile à démontrer.

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