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qu’il faut intégrer avant d’aller plus avant. Pour cela je fais

$x=s^{u},\qquad \mathrm {M=N} s^{v},$

et supposant

$u={\frac {2}{n-m+2}},\qquad v^{2}-(u+mu)v+mu^{2}=0,$

je trouve, après les substitutions et les réductions,

$k\mathrm {N} u^{2}={\frac {d^{2}\mathrm {N} }{ds^{2}}}+{\frac {2v-u-mu+1}{s}}{\frac {d\mathrm {N} }{ds}},$

équation qui se rapporte à celle du n^o 27. On voit donc par là que l’équation en $\mathrm {M}$ sera constructible exactement par nos formules toutes les fois que $2v-u-mu+1$ sera un nombre pair quelconque ; le reste du calcul n’ayant plus de difficulté, on trouvera pour la valeur de $p$ une expression exacte et finie, composée de fonctions très-générales de $x$ et de $t.$ Si $n=m,$ alors on a $u=1,$ et l’équation qui donne la valeur de $v$ devient

$v^{2}-(1+m)v+m=0,$

d’où l’on tire

$v=1\quad {\text{ou}}\quad v=m\,;$

dans le premier cas, le coefficient $2v-u-mu+1$ devient égal à $2-m,$ et dans le second égal à $m\,;$ or, dans le Problème de M. d’Alembert, on a $m=1,$ d’où l’on voit que ce Problème n’admet point de solution exacte, au moins suivant ma méthode ; cependant, si l’on veut se contenter d’une solution seulement approchée, on pourra y parvenir immédiatement par les formules du Problème III, car si dans l’équation

$bx^{n-m}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+{\frac {m}{x}}{\frac {dp}{dx}}$

on fait

$x=s^{u},\qquad p=qs^{v},$

et qu’on suppose les valeurs $u$ et $v$ déterminées par ces équations

$u={\frac {2}{n-m+2}},$

$v^{2}+(2-u+mu)v+mu-u+1=0,$