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Des oscillations d’une chaîne pesante.

34. Ce Problème étant célèbre parmi les Géomètres, je crois pouvoir me dispenser de donner l’analyse par laquelle on trouve que la force accélératrice de chaque point de la chaîne est comme la somme des angles de contingence depuis le sommet, moins l’angle de contingence multiplié par le rapport du poids total de la portion inférieure de la chaîne au petit poids dont ce point est chargé. Soient donc $x$ la longueur d’une partie quelconque de la chaîne, à commencer par le bout inférieur, $\mathrm {X} dx$ la pesanteur où $dx$ est la masse de la portion infiniment petite, et $y$ l’espace parcouru horizontalement dans le temps $t,$ on aura l’équation

$-{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-{\frac {dy}{dx}}-{\frac {\int \mathrm {X} dx}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Or, soit $\mathrm {X} =fx^{n},$ on aura

${\frac {\int \mathrm {X} dx}{\mathrm {X} }}={\frac {x}{n+1}},$

et faisant

$x={\frac {s^{2}}{h}},\qquad y={\frac {z}{s}},$

il viendra

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {h}{4(1+n)}}\left[{\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}+(2n-1)\left({\frac {d{\cfrac {z}{s}}}{ds}}\right)\right],$

équation réduite à notre formule générale, et qui aura une solution exacte toutes les fois que $2n-1$ sera un nombre pair quelconque, c’està-dire que $n={\frac {2\mu +1}{2}}.$ Dans le cas où la chaîne est d’une pesanteur uniforme, on a $n=0\,;$ ainsi $m$ sera égal à $-1$ dans les formules du n^o 27, et l’on trouvera que les deux séries, dont l’une est toute multipliée par $f$ et l’autre par $h,$ reviendront précisément à la même.

Soit $l$ la longueur de la chaîne, on aura dans le point de suspension $y={\frac {z}{\sqrt {hl}}}\,;$ donc, ce point étant supposé fixe, il faudra que $z$ y soit égal à zéro, d’où l’on retrouvera les mêmes conditions entre les fonctions