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la nature que celle des ondulations simplement circulaires. Je fis part à M. Euler des changements que j’avais faits à son hypothèse et des résultats qui m’en étaient venus, dans une lettre de la fin de décembre 1759 ; mais j’ai vu depuis avec beaucoup de plaisir que ce savant Auteur en avait déjà fait de même, et était parvenu aux mêmes conclusions que moi sur les lois de la propagation des ébranlements de l’air dans une sphère. (Voyez son Mémoire imprimé dans le tome II des Miscellanea Taurinensia, à la tête de ces Recherches.)

32. Supposons maintenant le tuyau d’une longueur donnée $a,$ et bouché à ses deux extrémités ; il faudra que la nature des fonctions $\Gamma$ et $\Delta$ (29) soit telle, que $z$ s’évanouisse aux points où $x=0$ et $x=a,$ quel que soit d’ailleurs le temps $t.$ Par un raisonnement semblable à celui du n^o 23, on trouvera pour la première de ces conditions

$\Gamma \left(t{\sqrt {c}}\right)+\Delta \left(-t{\sqrt {c}}\right)=0,$

ce qui apprend comment la fonction $\Delta$ doit être continuée du côté des abscisses négatives ; pour satisfaire ensuite à l’autre condition, faisons

$\Gamma \left(a+t{\sqrt {c}}\right)=\mathrm {T} ,\qquad \Delta \left(a-t{\sqrt {c}}\right)=\theta ,$

et soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les valeurs des quantités $\mathrm {{\frac {A}{2}},{\frac {B}{2}},{\frac {C}{2}}} ,\ldots ,$ lorsque $x=a\,;$ on aura

$\alpha (\mathrm {T} +\theta )+{\frac {\beta }{\sqrt {c}}}{\frac {d(\mathrm {T} -\theta )}{dt}}+{\frac {\gamma }{c}}{\frac {d^{2}(\mathrm {T} +\theta )}{dt^{2}}}+\ldots =0$

Soit maintenant

$T=-\theta +y,$

on aura

$\alpha y+{\frac {\beta }{\sqrt {c}}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\gamma }{c}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots ={\frac {2\beta }{\sqrt {c}}}{\frac {d\theta }{dt}}+\ldots \,;$

l’intégration de cette équation sera toujours possible. Soient $a',a'',a''',\ldots$ les racines de l’équation

$\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\ldots =0\,;$