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équation intégrable exactement toutes les fois que $m$ sera un nombre pair positif ou négatif (28) ; dans tous les autres cas la valeur de $z$ sera exprimée par une suite infinie.

Soit $m=2,$ on aura le cas du Problème II, et la formule du n^o 28 donnera

$z+{\frac {dxz}{dx}}={\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\varphi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{2}}+{\frac {{\grave {\,}}\!\psi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{2{\sqrt {c}}}},$

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé dans le n^o 20 ; de plus, la formule du n^o 29 donne

$z={\frac {\Gamma \left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\Delta \left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{x^{2}}}-{\frac {\Gamma '\left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\Delta '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{x}},$

ce qui s’accorde encore avec le n^o 21.

Si on fait $m=1,$ le conoïde sera formé par la révolution d’une parabole Apollonienne autour de son axe, et la valeur de $z$ ne pourra être donnée que par des séries.

31. Scolie. — Si le tuyau avait une figure plane, l’équation précédente aurait encore lieu, et le cas de $m=1$ appartiendrait à un tuyau triangulaire ; ainsi l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right)$

pourrait servir à trouver les lois de la propagation du son dans un plan, et c’est dans cette vue que M. Euler me fit l’honneur de me la proposer dans la même lettre dont j’ai fait mention (16). En faisant usage de ma nouvelle méthode, je reconnus bientôt que cette équation n’était pas intégrable exactement, mais qu’on pouvait la rendre telle en donnant au terme ${\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}$ le coefficient $2.$ Voilà ce qui m’a conduit à l’hypothèse des ondulations sphériques que nous avons examinée au long dans le Chapitre précédent, hypothèse qui est d’ailleurs beaucoup plus conforme à