Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/293

que $\mathrm {X} dx$ dans le temps $t,$ cette quantité $\mathrm {X} dx$ deviendra

$\left(\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}z\right)(dx+dz)=\mathrm {X} dx+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}zdx+\mathrm {X} dz,$

en supprimant les infiniment petits du second ordre ; donc, si $c$ désigne l’élasticité du fluide dans son état naturel, l’élasticité du fluide contenu dans la tranche $\mathrm {X} dx$ sera, après le temps $t,$

$c{\frac {\mathrm {X} dx}{\mathrm {X} dx+{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}zdx+\mathrm {X} dz}}=c\left(1-{\frac {dz}{dx}}-{\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} dx}}z\right),$

en négligeant ce qui se doit négliger. La différence de cette expression prise négativement donne l’excès de l’élasticité "d’une tranche quelconque sur celle qui la suit immédiatement ; donc, si on multiplie cet excès par la largeur $\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}z$ de la tranche et qu’on divise ensuite par la masse $\mathrm {X} dx,$ on aura la force accélératrice qui tend à faire parcourir l’espace $z\,;$ donc l’équation du mouvement du fluide sera

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} dx}}z}{dx}}\right)\left({\frac {\mathrm {X} +{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}z}{\mathrm {X} }}\right),$

qui se réduit, par la supposition de $z$ infiniment petit, à

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} dx}}z}{dx}}\right).$

Telle est l’équation générale, mais jusqu’à présent je ne connais encore que quelques cas où elle soit constructible ; ce sont ceux qui peuvent être compris dans la solution du Problème III, c’est-à-dire où l’on a ${\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} dx}}={\frac {m}{x}}$ ou bien $\mathrm {X} =hx^{m},$ ce qui donne un conoïde formé par la révolution d’une parabole ou d’une hyperbole quelconque. On aura donc, dans cette hypothèse, ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+m{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right),$