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d’où je tire

$M=\sin \left(t{\sqrt {-k}}\right)\,;$

puis, en supposant $\int z\mathrm {M} dt=s,$ il me vient l’équation fondamentale

$ks=c{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}+mc{\frac {d{\cfrac {s}{x}}}{dx}}.$

Pour intégrer cette nouvelle équation, je fais ${\frac {s}{x}}=y,$ ce qui la réduit par la substitution à

$ky=c{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {(m+2)c}{x}}{\frac {dy}{dx}},$

équation qui, étant comparée à celle en $\mathrm {M}$ du Problème précédent, donnera pour la valeur de $y$ la suite

$\mathrm {A} u+\mathrm {B} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots ,$

les valeurs des $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant les mêmes qu’auparavant, mais étant transformées par la substitution de $m+2$ au lieu de $-m.$ À l’égard de la valeur de $u,$ elle sera ici égale à $\sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right),$ il faut observer qu’elle peut être également $\cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)\,;$ d’où il suit qu’en prenant deux quantités $\mathrm {P,Q}$ constantes à l’égard de $x,$ on aura généralement

$u=\mathrm {P} \sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+\mathrm {Q} \cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)\,;$

donc si on fait

${\begin{aligned}s&=\mathrm {P} \left[\mathrm {A} \sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+{\frac {\sqrt {-k}}{\sqrt {c}}}\mathrm {B} \cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+{\frac {k}{c}}\mathrm {C} \sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[\mathrm {A} \cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)-{\frac {\sqrt {-k}}{\sqrt {c}}}\mathrm {B} \sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+{\frac {k}{c}}\mathrm {C} \cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)-\ldots \right],\end{aligned}}$