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seront l’une et l’autre du même côté de l’axe ; d’où il s’ensuit qu’ayant exécuté la continuation du côté des abscisses positives à l’infini, suivant ce qu’on a dit ci-dessus, on n’aura plus qu’à renverser la même courbe au delà de $\mathrm {A} ,$ et au-dessous ou au-dessus de l’axe, selon qu’elle appartiendra aux fondamentales ou aux dérivées.

23. Par la méthode qui vient d’être expliquée, nous avons la manière de continuer de part et d’autre à l’infini les courbes qui dépendent des valeurs de $\mathrm {Z}$ et de $\mathrm {U} ,$ données à volonté dans le premier instant du mouvement, sans s’embarrasser que les différentes branches de ces courbes soient liées entre elles par la loi de continuité. Mais, si on voulait se borner à admettre cette loi, on pourrait obtenir les mêmes résultats avec beaucoup moins de peine par la simple considération des formules données à la fin du n^o 20. Toute la difficulté se réduirait à chercher la nature des fonctions $\varphi$ et $\psi$ au delà des points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ par la condition que $z$ et $u$ soient égaux à zéro dans ces points, quelque valeur qu’on suppose à $t.$

Posons d’abord dans ces formules $x=0,$ $z=0,$ $u=0,$ on aura les équations

${\begin{aligned}0&={\frac {{\grave {\,}}\!\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x}}-{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}}}\\&+{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x{\sqrt {c}}}}-{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}{\sqrt {c}}}},\\0&={\frac {{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x}}-{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}}}\\&+{\sqrt {c}}{\frac {\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)-\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x}}-{\sqrt {c}}{\frac {{\grave {\,}}\!\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}}}.\end{aligned}}$

De ces deux équations il suffira de vérifier la première, puisque la seconde n’en est que la différentielle divisée par $dt\,;$ mais il se présente dans cette opération une difficulté, car les termes étant divisés les uns par $x,$ les autres par $x^{2},$ on peut être en doute si, en faisant à part égaux à zéro les numérateurs de $x$ et de $x^{2},$ toute la formule disparaîtra, à cause