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et je la change dans son égale
Je substitue ensuite à la place de la quantité tirée de l’équation qui détermine la valeur de et je fais évanouir à l’aide d’une intégration par parties le coefficient introduit par cette substitution ; j’ai ainsi
Le terme algébrique de cette transformée s’évanouit de lui-même lorsque donc, si l’on suppose lorsque (nous verrons ci-après que cette supposition est possible), on pourra l’effacer entièrement, et la première transformée deviendra par la substitution
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &\mathrm {R} \cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)\sin \left(z{\sqrt {-k}}\right)dz-a\int \cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)\sin \left(z{\sqrt {-k}}\right)d\mathrm {R} \\&=\int \mathrm {R} \sin[(a+z){\sqrt {-k}}]dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969fc42a73124ea6a38d2eb6bb34393455685cfe)
Développons à présent les produits des sinus et cosinus ; on aura l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {R} \sin \left[(a+z){\sqrt {k}}\right]dz-{\frac {1}{2}}\int \mathrm {R} \sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz\\-&{\frac {1}{2}}a\int \sin \left[(a+z){\sqrt {k}}\right]d\mathrm {R} +{\frac {1}{2}}a\int \sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz\\=&\int \mathrm {R} \sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d97209a0bdea89c1c87c9cfac33d7d2c44e0301)
et réduisant,
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {R} +a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}}\right)\sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz=-\int \left(\mathrm {R} -a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}}\right)\sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daac6c84b3c8c17715ce874fdec3573978fdbcc)
Comparant donc les deux membres de cette équation avec les formules
