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expression $\Gamma \left(x-t{\sqrt {c}}\right),$ $\Delta$ et $\Gamma$ étant de nouvelles fonctions variables différentes de $\varphi$ et $\psi \,;$ et prenant les différences de la manière indiquée ci-dessus on obtiendra les formules

${\begin{aligned}z=&{\frac {\Delta '\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}{2x}}-{\frac {\Delta \left(x+t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}}}\\+&{\frac {\Gamma '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{2x}}-{\frac {\Gamma \left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}}},\\u=&{\sqrt {c}}{\frac {\Delta ''\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}{2x}}-{\sqrt {c}}{\frac {\Delta '\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}}}\\-&{\sqrt {c}}{\frac {\Gamma ''\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{2x}}-{\sqrt {c}}{\frac {\Gamma '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{2x^{2}}},\\\end{aligned}}$

lesquelles s’accordent pour le fond avec celles que M. Euler a données dans ses Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique (Miscellanea taurinensia, t. I, p. 9), où il nomme $u$ ce que nous avons appelé $z'$ et $\mathrm {V}$ ce que nous avons nommé $x.$

22. La construction trouvée au commencement du n^o 20 n’est bonne que pour les cas où $x\pm t{\sqrt {c}}$ n’est pas plus grand que $a$ ni moindre que zéro, puisque les valeurs de $\mathrm {Z}$ et de $\mathrm {U}$ ne sont données que pour la simple étendue de l’axe $\mathrm {AB} =a$. Il faut donc chercher ici, comme on l’a fait dans le Problème I, une manière de continuer les courbes $\mathrm {ANB,AQB} ,\ldots$ au delà des points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Pour cela, ayant conservé la construction du n^o 7 avec la même équation des courbes $\mathrm {A'S'B',A''S''B''} ,$ on examinera leur cours au delà des points $\mathrm {B} '$ et $\mathrm {A} '',$ en supposant (19) la quantité ${\sqrt {-k}}$ déterminée par l’équation

$a{\sqrt {-k}}={\frac {\sin \left(a{\sqrt {-k}}\right)}{\cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)}}.$

Pour ce qui regarde la branche $\mathrm {A} ''{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\mathrm {S}$ qui est du côté des abscisses négatives, rien n’est d’abord plus facile que de la trouver ; car faisant $x$ négatif, $\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)$ devient simplement négatif sans changer de valeur, d’où il s’ensuit que cette branche ne doit être que la branche même $\mathrm {A''S''}$ renversée de la manière qu’on l’a déjà fait (fig. 6, p. 168). Ainsi on