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que $x\,;$ j’ai

$\int {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {M} dx=c\int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx+2c\int {\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\mathrm {M} dx.$

Je transforme d’abord l’intégrale

$\int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx$

en

${\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -\int {\frac {dz}{dx}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}dx,$

ensuite en

${\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}+\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx}}dx.$

Je change de même l’autre intégrale

$\int {\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\mathrm {M} dx$

en

${\frac {z\mathrm {M} }{x}}-\int {\frac {z}{x}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}dx,$

et je tire par la substitution la nouvelle équation

$\int {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {\mathrm {M} } dx=c\left(\mathrm {M} {\frac {dz}{dx}}-z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}+{\frac {2z\mathrm {M} }{x}}\right)+c\int z\left({\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-{\frac {2}{x}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\right)dx.$

Je dois maintenant supposer $\mathrm {M}$ tel que

${\frac {\mathrm {M} dz}{dx}}-{\frac {zd\mathrm {M} }{dx}}+{\frac {2z\mathrm {M} }{x}}=0,$

lorsque $x=0$ et lorsque $x=a,;$ or, puisque l’on a déjà dans ces deux cas $z=0$ par hypothèse, il suffit que $\mathrm {M}$ le soit aussi, ce qui donnera les mêmes conditions à remplir par les constantes de $\mathrm {M} ,$ que l’on a eues dans le Problème I.

L’équation restante sera donc

$\int {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {M} dx=c\int z\left({\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-{\frac {2}{x}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\right)dx,$