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rations, il sera utile de distinguer par des expressions différentes les $x$ qui conviennent aux $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {U} ,$ d’avec ceux qui conviennent aux $z$ et $u\,;$ je désignerai les premiers par la lettre $\mathrm {X}$ que je substituerai partout dans les seconds membres des équations précédentes au lieu de $x,$ en retenant néanmoins le $dx$ qui ne peut causer aucun embarras ; j’observe de plus que les intégrales qui entrent dans les termes de ces membres se rapportent uniquement à la variable $x$ ou $\mathrm {X} ,$ ce qui fait qu’on peut mettre aussi sous le signe ces quantités $\sin \left(t{\sqrt {-kc}}\right)$ et $\cos \left(t{\sqrt {-kc}}\right),$ qui sont constantes à leur égard ; j’aurai donc

${\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\int \mathrm {Z} \sin \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\cos \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx\\&-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\cos \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\sin \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx.\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\int \mathrm {U} \sin \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\cos \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx\\&-{\sqrt {c}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\sin \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx.\end{aligned}}$

Je développe à présent les produits des sinus et cosinus par les méthodes connues ; j’obtiens

${\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}\int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx.\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx.\end{aligned}}$