M. Lagrange, en abandonnant à son ami des solutions isolées, publiait en même temps sous son propre nom des théories qu’il promettait de suivre et de développer. Ainsi, après avoir donné de nouvelles méthodes pour les maxima et les minima en tout genre, après avoir montré l’insuffisance des formules connues, il annonce qu’il traitera ce sujet, qui d’ailleurs lui paraît intéressant, dans un Ouvrage qu’il prépare, où l’on verra déduite des mêmes principes toute la Mécanique des corps, soit solides, soit fluides ; ainsi, à vingt-trois ans il avait jeté déjà les fondements des grands Ouvrages qui depuis ont fait l’admiration des savants.
Dans le même volume, il ramène au Calcul différentiel la théorie des suites récurrentes et la doctrine des hasards, qui jusqu’à lui n’avait été traitée que par des voies indirectes, et qu’il établit sur des principes plus naturels et plus généraux.
Newton avait entrepris de soumettre au calcul les mouvements des fluides ; il avait fait des recherches sur la propagation du son ; ses principes étaient insuffisants et même fautifs, et ses suppositions incompatibles entre elles ; Lagrange le démontre ; il fonde ses nouvelles recherches sur les lois connues de la Dynamique ; en ne considérant dans l’air que les particules qui se trouvent en ligne droite, il ramène le problème à celui des cordes vibrantes, sur lequel les plus grands Géomètres étaient divisés ; il fait voir que leurs calculs sont insuffisants pour décider la question, il entreprend une solution générale par une analyse aussi neuve qu’intéressante, puisqu’elle permet de résoudre à la fois un nombre indéfini d’équations, et qu’elle s’étend jusque sur les fonctions discontinues ; il établit plus solidement la théorie du mélange des vibrations simples et régulières de D. Bernoulli ; il montre les limites entre lesquelles cette théorie est exacte, et hors desquelles
