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trouve généralement

${\begin{aligned}\sin &{\frac {\mu \varpi }{2m}}\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}}+\sin {\frac {2\mu \varpi }{2m}}\sin {\frac {2\lambda \varpi }{2m}}+\sin {\frac {3\mu \varpi }{2m}}\sin {\frac {3\lambda \varpi }{2m}}+\ldots \\&+\sin {\frac {(m-1)\mu \varpi }{2m}}\sin {\frac {(m-1)\lambda \varpi }{2m}}+\ldots \\=&\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sin {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2m}}}{\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{2m}}-\cos {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}},\end{aligned}}$

où le signe $+$ a lieu lorsque $\mu$ est impair, et le signe $-$ lorsqu’il est pair ; donc, si l’on pose

${\frac {\mu }{m}}={\frac {\mathrm {X} }{a}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\lambda }{m}}={\frac {x}{a}}\pm \mathrm {\frac {H}{T}} ,$

il en résultera

${\begin{aligned}y=&\pm {\frac {1}{2a}}\int {\frac {dx\mathrm {Y} \sin {\cfrac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {mx}{a}}+{\cfrac {m\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)}{\cos {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {x}{a}}+{\cfrac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)-\cos {\cfrac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}}}\\&\pm {\frac {1}{2a}}\int {\frac {dx\mathrm {Y} \sin {\cfrac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {mx}{a}}-{\cfrac {m\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)}{\cos {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {x}{a}}-{\cfrac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)-\cos {\cfrac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}}}.\end{aligned}}$

Or, puisque $m$ est infini, $m\left({\frac {x}{a}}\pm {\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)$ sera toujours un nombre entier quels que soient $x$ et $t\,;$ donc on aura

$\sin {\frac {\varpi }{2}}\left({\frac {mx}{a}}\pm {\frac {m\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)=0,$

et par conséquent les termes qui constituent les intégrales exprimées par $\int$ s’évanouiront en général. Il y a pourtant un cas particulier à excepter, c’est celui où ${\frac {x}{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}$ dans la première intégrale, et ${\frac {x}{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}$ dans la seconde, deviennent égaux à $2s\pm {\frac {\mathrm {X} }{a}},$ $s$ dénotant un nombre quelconque entier positif ou négatif ; car dans ces cas les dénominateurs