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RECHERCHES SUR LA NATURE

d’où, en faisant ${\frac {\mathrm {S} }{a\mathrm {PK} }}=f,$ il résulte, par les méthodes connues,

$x{\sqrt {f}}=\arcsin {\frac {y}{\mathrm {Y} }}$

et

$y=\mathrm {Y} \sin(x{\sqrt {f}}),$

équation de la courbe pour un temps quelconque $t,$ où l’ordonnée $\mathrm {Y}$ est la plus grande. Or, comme le point $e$, en parcourant l’espace $e\mathrm {E}$, est continuellement poussé par une force accélératrice proportionnelle à l’espace qui reste à parcourir, on aura

$-{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {2h}{\mathrm {T} ^{2}}}{\frac {y}{\mathrm {K} }},$

d’où, si l’on fait encore, pour abréger, ${\frac {2h}{\mathrm {T} ^{2}\mathrm {K} }}=g,$ l’on tirera de nouveau

$t{\sqrt {g}}=\arcsin {\frac {y}{\mathrm {Y} _{1}}}$

et

$y=Y_{1}\sin(t{\sqrt {g}}),$

équation qui donne pour un temps quelconque $t$ le rapport de l’éloignement $y$ du point $e$ de l’axe à son plus grand éloignement $\mathrm {Y} _{1}\,;$ donc, si l’on met au lieu de $\mathrm {Y} _{1}$ la valeur de $y$ qui convient à la courbe la plus grande $\mathrm {A} e\mathrm {B} ,$ et que nous avons trouvée plus haut, $Y\sin(x{\sqrt {f}}),$ il en résultera l’expression générale des $y$ pour tous les temps $t$ et pour chaque coupée $x,$ savoir

$y=\mathrm {Y} \sin(x{\sqrt {f}})\sin(t{\sqrt {g}}),$

et telle est l’équation de la corde vibrante dans l’hypothèse de M. Taylor, en supposant qu’elle soit en ligne droite au commencement de son mouvement.

Si la corde eût d’abord eu la figure d’une trochoïde allongée, alors puisque, $t$ croissant, $y$ diminuerait, on aurait trouvé

$y=\mathrm {Y} \sin(x{\sqrt {f}})\cos(t{\sqrt {g}}),$

où $y=\mathrm {Y} \sin(x{\sqrt {f}})$ exprimerait la figure de la corde au commencement.