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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer la quantité $\varphi '$ en fonction de $t,$ $x,$ $y.$

Après quoi on connaîtra la figure de la surface supérieure du fluide par l’équation

$z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}}+{\frac {1}{g}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}+{\frac {1}{g}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2},$

et si l’on voulait connaître aussi les vitesses horizontales $p,$ $q$ de chaque particule du fluide, on les aurait (33) par les formules

$p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}.$

47. Le Calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l’intégration d’équations aussi compliquées que celle dont il s’agit ; et il ne nous reste d’autre ressource que de tâcher de simplifier cette équation par quelque limitation.

Nous supposerons pour cela que le fluide dans son mouvement ne s’élève ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous de son niveau qu’infiniment peu, en sorte que les ordonnées $z$ de la surface supérieure soient toujours très-petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales $p$ et $q$ soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités ${\frac {d\varphi '}{dt}},$ ${\frac {d\varphi '}{dx}},$ ${\frac {d\varphi '}{dy}}$ soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité $\varphi '$ elle-même soit infiniment petite.

Ainsi, négligeant dans l’équation proposée les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire

$-{\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+g{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+g{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}=0,$

et l’on aura

$z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}},\quad p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}.$

Cette équation contiendra donc la Théorie générale des petites agitations d’un fluide peu profond, et par conséquent la vraie Théorie des