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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Or la seconde équation du même numéro se réduit à cette forme

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\log \Delta }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\log \Delta }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\log \Delta }{dz}}+{\frac {d\log \Delta }{dt}}=0.$

Donc, substituant pour $\log \Delta$ sa valeur donnée par la première, on aura après avoir ordonné les termes

${\begin{aligned}k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\right.&\left.+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}\\&-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dx\,dt}}-2{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dy\,dt}}-2{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dz\,dt}}\\&-\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}-\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}-\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\\&-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}}-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dz}}-2{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d^{2}\varphi }{dy\,dz}}=0,\end{aligned}}$

équation qui contient seule la Théorie du mouvement des fluides élastiques dans l’hypothèse dont il s’agit.

Si le fluide est incompressible et la densité $\Delta$ constante, alors la pression sera donnée par l’équation

${\frac {\Pi }{\Delta }}=\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2},$

et l’équation de l’incompressibilité (5) deviendra ${\Bigl (}$par la substitution de ${\frac {d\varphi }{dx}},$${\frac {d\varphi }{dy}},{\frac {d\varphi }{dz}}$ au lieu de $p,q,r{\Bigr )}$

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0,$

laquelle servira à déterminer la quantité $\varphi .$

17. On voit donc que la supposition que

$pdx+qdy+rdz$

soit une différentielle exacte d’une fonction de $x,$ $y,$ $z$ simplifie beaucoup