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ESSAI SUR LA THÉORIE DES EAUX COURANTES.

à $dt$ des accroissements éprouvés, pendant le même instant, par les cosinus respectifs des angles que forment deux à deux ces trois lignes. En effet, abstraction faite des moments infiniment courts dont il vient d’être parlé, les composantes, suivant les axes, de la vitesse réelle aux trois points $(x+dx,y,z),$ $(x,y+dy,z),$ $(x,y,z+dz),$ sont respectivement :

${\begin{aligned}u_{1}+{\frac {du_{1}}{dx}}dx,\;v_{1}+{\frac {dv_{1}}{dx}}dx,\;w_{1}+{\frac {dw_{1}}{dx}}dx,\ {\text{en}}\ (x+dx,y,z),\\u_{1}+{\frac {du_{1}}{dy}}dy,\;v_{1}+{\frac {dv_{1}}{dy}}dy,\;w_{1}+{\frac {dw_{1}}{dy}}dy,\ {\text{en}}\ (x,y+dy,z),\\u_{1}+{\frac {du_{1}}{dz}}dz,\;v_{1}+{\frac {dv_{1}}{dz}}dz,\;w_{1}+{\frac {dw_{1}}{dz}}dz,\ {\text{en}}\ (x,y,z+dz).\end{aligned}}$

Les secondes extrémités des petites lignes $dx,$ $dy,$ $dz,$ supposées matérielles, s’écartent ainsi, pendant l’instant $dt,$ de leur première extrémité, située d’abord en $(x,y,z),$ avec des vitesses dont les composantes suivant les axes sont

${\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dx}}dx,\;{\frac {dv_{1}}{dx}}dx,\;{\frac {dw_{1}}{dx}}dx,\ {\text{pour la petite ligne}}\ dx,\\{\frac {du_{1}}{dx}}dx,\;{\frac {dv_{1}}{dy}}dy,\;{\frac {dw_{1}}{dy}}dy,\ {\text{pour la petite ligne}}\ dy,\\{\frac {du_{1}}{dx}}dx,\;{\frac {dv_{1}}{dz}}dz,\;{\frac {dw_{1}}{dz}}dz,\ {\text{pour la petite ligne}}\ dz,\end{aligned}}$

et ces lignes ont par suite, au bout de l’instant $dt,$ leurs projections sur les axes respectivement égales à

${\begin{aligned}\left(1+{\frac {du_{1}}{dx}}dt\right)dx,\quad {\frac {dv_{1}}{dx}}dt\,dx,\quad {\frac {dw_{1}}{dx}}dt\,dx,\ {\text{pour la première}},\\{\frac {du_{1}}{dy}}dt\,dy,\quad \left(1+{\frac {dv_{1}}{dy}}dt\right)dy,\quad {\frac {dw_{1}}{dy}}dt\,dy,\ {\text{pour la deuxième}},\\{\frac {du_{1}}{dz}}dt\,dz,\quad {\frac {dv_{1}}{dz}}dt\,dz,\quad \left(1+{\frac {dw_{1}}{dz}}dt\right)dz,\ {\text{pour la troisième}}.\end{aligned}}$

En faisant la somme des carrés trois à trois de ces quantités et extrayant la racine carrée, on trouve que les longueurs des trois petites lignes sont devenues respectivement (sauf infiniment petits négligeables de l’ordre de $dt^{2})$

(1 ter)

$\left(1+{\frac {du_{1}}{dx}}dt\right)dx,\;\left(1+{\frac {dv_{1}}{dy}}dt\right)dy,\;\left(1+{\frac {dw_{1}}{dz}}dt\right)dz,$