Page:Joseph Boussinesq - Essai sur la théorie des eaux courantes, 1877.djvu/37

12

J. BOUSSINESQ.

et la destruction du régime uniforme ou, plus généralement, de tout régime graduellement varié. s’obtient facilement quand on raisonne dans la supposition très-probable que l’influence des courbures dépend peu des différences de vitesse, habituellement modérées, des filets fluides, et lorsqu’on se borne au cas, le plus ordinaire, d’un canal découvert de grande largeur, dont le fond a son profil longitudinal droit ou courbe, mais sensiblement contenu dans un plan vertical. Elle diffère de celle du mouvement graduellement varié en ce que le terme $\alpha '{\tfrac {d}{ds}}\left({\tfrac {\mathrm {U} ^{2}}{2g}}\right)$ y est diminué de l’expression

$h^{2}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {d^{3}}{ds^{3}}}\left({\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2g}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{gh}}{\frac {d^{2}i}{ds^{2}}}\right],$

où $h$ désigne la profondeur d’eau et $i$ la pente du lit.

Supposant d’abord négligeable la courbure longitudinale du fond, j’étudie les circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme, circonstances que l’on observe, les premières immédiatement en amont, et les secondes immédiatement en aval des endroits où ce régime existe. Je parviens ainsi, non-seulement à retrouver les caractères indiqués ci-dessus, mais encore à déterminer la forme de la surface aux endroits où l’influence des courbures n’est pas négligeable. Qu’on me permette de citer, entre autres résultats intéressants :

1^o La démonstration de l’existence, aux points où s’établit le régime uniforme dans les rivières, d’une série d’ondulations transversales de la surface, ondulations d’une longueur constante et peu considérable, d’autant plus petite que la pente de fond est plus faible, et d’une hauteur qui diminue de chaque ondulation à la suivante, quand on suit le cours de l’eau, avec d’autant plus de rapidité que cette pente est plus grande ;

2^o La détermination de la forme qu’affectent, à leur partie inférieure, les ressauts qui se produisent dans les torrents rapides aux endroits où une cause retardatrice, en détruisant le régime uniforme, donne naissance à un gonflement ; la surface s’y relève presque brusquement et sans aucune inflexion ;