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J. BOUSSINESQ.

énormes : j’ai montré, par exemple, au § ix d’un mémoire Sur l’influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides (Journal de M. Liouville, t. xiii, 1868), que le filet central, dans un canal demi-circulaire de 1 mètre de rayon et d’une pente égale seulement à 0,0001, devrait avoir une vitesse de 187 mètres par

toute la section, le même qu’au point où celle-ci coupe l’axe des $s$ et où $p$ égale $p_{0}$. L’augmentation que reçoit cet excès le long d’un même filet, quand $s$ croît de $ds,$ pourra ainsi être mesurée sur l’axe même des abscisses et vaudra $\left({\tfrac {1}{\rho g}}{\tfrac {dp_{0}}{ds}}-\sin \mathrm {I} \right)ds,$ ou bien, rapportée à l’unité de longueurs $s,$ ${\tfrac {1}{\rho }}{g}{\tfrac {dp_{0}}{ds}}-\sin \mathrm {I} .$ Cela posé, la seconde formule (24) du mémoire cité donne, pour la dépense d’un des petits tubes formés par les pores perméables du milieu traversé, une quantité directement proportionnelle à cet accroissement changé de signe, $\sin \mathrm {I} -{\tfrac {1}{\rho }}{g}{\tfrac {dp_{0}}{ds}},$ et réciproquement proportionnelle à la valeur moyenne du carré de l’inverse de la section du tube et à un coefficient dépendant de sa forme. En faisant la somme des dépenses de tous les tubes qui composent ensemble un faisceau de dimensions sensibles et en divisant cette somme par celle de leurs sections intérieures, on aura la vitesse moyenne locale $u$ de transpiration du liquide dans la région considérée. On voit que cette moyenne locale sera proportionnelle à la différence $\sin \mathrm {I} -{\tfrac {1}{\rho }}{g}{\tfrac {dp_{0}}{ds}}$ et à un coefficient ${\tfrac {1}{\mu }},$ dépendant de la nature des couches poreuses traversées et d’autant plus petit que celles-ci seront plus compactes. (D’après les expériences de Darcy, $\mu$ serait généralement compris, pour l’eau qui filtre à travers divers sables, entre 1000 et 10000, les unités de longueur et de temps étant le mètre et la seconde.) Si $\mathrm {U}$ désigne, par conséquent, la vitesse moyenne sur toute la section $\sigma$ et que, pour plus de simplicité, le milieu poreux soit supposé sensiblement homogène dans toute cette étendue, il viendra

(α)

$\sin \mathrm {I} -{\frac {1}{\rho }}{g}{\frac {dp_{0}}{ds}}=\mu \mu =\mu \mathrm {U} .$


C’est l’équation du mouvement. On y joindra : 1^o si l’écoulement est permanent, la relation

(β)

$\mathrm {Q} =m\sigma \mathrm {U} ,$


qui exprime l’invariabilité de la dépense totale $\mathrm {Q}$ à travers les diverses sections et où $m$ désigne le rapport de la somme des sections vives des tubes suivant lesquels coule le liquide à la section fluide apparente $\sigma \ ;$ 2^o si le mouvement est non permanent, la formule

(γ)

${\frac {d\cdot m'\sigma }{dt}}+{\frac {d\cdot m\sigma \mathrm {U} }{ds}}=0,$


analogue à celle $(\textstyle \int )$ du § xxvi ci-après (n— 126), et qui se démontre de la même