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décrite eſt à l’intervalle de ſes foyers comme l’axe $ab$ à l’intervalle $sh$ des foyers ; & par conſéquent la figure décrite eſt ſemblable à la figure $aph.$ De plus, cette figure paſſe par le point $P,$ parce que le triangle $PSH,$ eſt ſemblable au triangle $psh\,;$ & elle eſt touchée par la droite $TR,$ à cauſe que ſon axe eſt égal à $VH,$ & que $VS$ eſt coupée en deux parties égales par $TR.\qquad C.Q.F.F.$

LEMME XVI.

Trouver un point, duquel tirant des lignes droites à trois points donnés, les différences de ces trois droites ʃoient nulles ou données.

Cas ${\mathfrak {1}}.$ Soient $A,B,C,$ les points donnés, & $Z,$ le quatrième point qu’il faut trouver ; la différence des lignes $AZ,BZ$ étant donnée, le point $Z$ ſera à une hiperbole qui aura pour foyers les points $A$ & $B,$, Fig 38& pour axe principal la différence donnée. Soit $MN$ cet axe, prenant $PM:MA::MN:AB,$ élevant enſuite $PR$ perpendiculaire ſur $AB,$ & abaiſſant $ZR$ perpendiculaire ſur $PR\,;$ on aura, par la nature de l’hiperbole, $ZR:AZ::MN:$$AB.$ Par le même raiſonnement on trouvera que le point $Z$ ſera à une autre hiperbole dont les foyers ſeront les points $A$ & $C,$, & l’axe principal la différence entre $AZ$ & $CZ,$ & on trouvera auſſi la droite $QS$ perpendiculaire ſur $AC,$ à laquelle $QS,$ ſi on mène la perpendiculaire $ZS$ d’un point quelconque $Z$ de cette hiperbole, $ZS$ ſera à $AZ$ comme la différence entre $AZ$ & $CZ$ eſt à $AC.$ Cela pofé, il eſt aisé de remarquer que les raifons de $ZR$ & de $ZS$ à $AZ$ ſont données, & que par conſéquent celle que $ZR$ & $ZS$ ont entr’elles eſt donnée auſſi. Donc, ſi les droites $RP,SQ$ prolongées ſe rencontrent en $T,$ & qu’on tire $TZ$ & $TA,$ la figure $TRZS,$ ſera donnée d’eſpece, & la droite $TZ$ dans laquelle eſt placé le point cherché $Z$ ſera donnée de position. De plus, la droite $TA$ ſera donnée auſſi ainſi que l’angle $ATZ\,;$ & parce que les raiſons de $AZ$ & de $TZ$