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où $\varphi _{1}(p)$ et $\psi _{1}(p)$ sont nécessairement des fonctions rationnelles de $p$ à coefficients rationnels, qui pour des valeurs réelles de $p$ ne prennent jamais des valeurs négatives. De la dernière équation quadratique on tire

$f_{2}={\frac {f_{2}^{2}+\psi _{1}(p)}{\varphi _{1}(p)}}$

Or, en vertu du théorème XLIII, les fonctions $\varphi _{1}(p)$ et $\psi _{1}(p)$ doivent être des quotients de sommes de carrés de fonctions rationnelles et, d’autre part, l’expression $f_{2}$ est, d’après ce qui précède, susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments ; l’expression trouvée pour $f_{2}$ montre donc que $f_{2}$ est un quotient de sommes de carrés de fonctions que l’on sait aussi construire. Par conséquent, l’expression ${\sqrt {f_{2}}}$ est également susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments.

De même que l’expression $f_{2}$, toute autre fonction rationnelle $\varphi _{2}(p,{\sqrt {f_{1}(p)}}$ de $p$ et de $f_{1}$ est également un quotient de deux sommes de carrés de fonctions que l’on sait construire, pourvu que cette fonction rationnelle jouisse de la propriété de ne jamais prendre de valeurs négatives pour des valeurs réelles du paramètre $p$ et pour les deux déterminations de $f_{1}$.

Cette remarque permet de réitérer le procédé de déduction employé jusqu’ici, de la manière suivante :

Soit $f_{2}\left(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}\right)$ une expression dépendant rationnellement des trois arguments $p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}$ et dont la racine carrée, dans l’évaluation analytique des coordonnées des points cherchés, doit être extraite la troisième. Comme précédemment, nous concluons que $f_{2}$ ne prendra de valeurs négatives pour aucune valeur réelle de p et pour aucune des deux déterminations de ${\sqrt {f_{1}}}$ et${\sqrt {f_{2}}}$ ; ce fait montre encore que $f_{3}$ doit vérifier une équation quadratique de la forme

$f_{3}^{2}-\varphi _{2}\left(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}\right)f_{3}+\psi _{2}\left(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}\right)=0$

où $\varphi _{2}$ et $\psi _{2}$ désignent des fonctions rationnelles de $p$ et de ${\sqrt {f_{1}}}$ et ${\sqrt {f_{2}}}$ qui, pour aucune valeur réelle de $p$ et pour aucune des deux déterminations de ${\sqrt {f_{1}}}$ et de ${\sqrt {f_{2}}}$ ne peuvent prendre des valeurs négatives. Or,