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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Prenons une nouvelle variable $u$ définie par la condition :

${\begin{aligned}z\rho &=\rho -u\\[1ex]dz&=-{\frac {du}{\rho }}\cdot \\\end{aligned}}$

Pour

$z=0,\quad u=\rho \quad$ et pour $\quad z=1,\quad u=0.$

Substituons dans l’expression de $\varphi .$

${\begin{aligned}\varphi &=\int _{\rho }^{0}{\frac {-e^{{\sqrt {-1}}(\rho -u)}\,{\dfrac {du}{\rho }}}{\sqrt {1-{\dfrac {(\rho -u)^{2}}{\rho ^{2}}}}}}\\[1ex]&=\int _{0}^{\rho }{\frac {-e^{{\sqrt {-1}}(\rho -u)}\,du}{\sqrt {\rho ^{2}-(\rho -u)^{2}}}}=\int _{0}^{\rho }{\frac {e^{{\sqrt {-1}}(\rho -u)}\,du}{\sqrt {u(2\rho -u)}}}\\[1ex]&={\frac {e^{{\sqrt {-1}}\,\rho }}{\sqrt {2\rho }}}\int _{0}^{\rho }{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,u}\,du}{\sqrt {u\left(1-{\dfrac {u}{2\rho }}\right)}}}\\\end{aligned}}$

Si nous supposons que $\rho$ soit très grand, ${\frac {u}{2\rho }}$ sera négligeable vis-à-vis de l’unité et nous pourrons prendre $\infty$ comme limite supérieure.

$\varphi ={\frac {e^{{\sqrt {-1}}\,\rho }}{\sqrt {2\rho }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,u}\,du}{\sqrt {u}}}$

Cette dernière intégrale est connue : elle se ramène facilement d’ailleurs aux intégrales de Fresnel ; sa valeur est ${\sqrt {\pi }}e^{-{\sqrt {-1}}{\frac {\pi }{4}}}$

$\varphi ={\sqrt {\frac {\pi }{2\rho }}}\,e^{{\sqrt {-1}}\left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)}$