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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Mais si $u=r^{3},$ nous avons $\xi =r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ et le calcul donne pour $\Delta \xi$

$\Delta \xi =6.$

En égalant ces deux valeurs de $\Delta \xi ,$ nous avons pour valeur de $\mathrm {C}$

$\mathrm {C} ={\frac {1}{r}}.$

L’expression de $\Delta \xi$ dans le cas général est donc :

$\Delta \xi ={\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}\cdot$

Portant cette valeur dans la première des équations du mouvement et remplaçant ${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}$ par sa valeur ${\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},$ nous aurons une équation qui déterminera $u\,;$ cette équation est

${\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}},$

ou

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}\cdot$

En intégrant, on aura

$u=\mathrm {F} (r-\mathrm {V} t)+\mathrm {F} _{1}(r+\mathrm {V} t),$

d’où

$\xi ={\frac {\mathrm {F} (r-\mathrm {V} t)}{r}}+{\frac {\mathrm {F} _{1}(r+\mathrm {V} t)}{r}}\cdot$

68. Les fonctions $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ étant quelconques, nous pouvons supposer que l’une d’elles, $\mathrm {F} _{1},$ se réduise à $0\,;$ nous aurons alors

$\xi ={\frac {\mathrm {F} (r-\mathrm {V} t)}{r}},$