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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

ou, si on admet que la différence de marche des deux rayons est très petite,

$\eta =\mathrm {B} '_{0}\cos \left(\omega +\theta +\psi \right).$

Fig. 3.

Sous l’influence de ces deux mouvements, la molécule d’éther placée en $\mathrm {O}$ vient au point $\mathrm {M}$ (fig. 3) de coordonnées $\xi$ et $\eta .$ Soit $\mathrm {OG}$ la nouvelle direction des vibrations à la sortie du polariseur $\Pi ''\,;$ la vibration $\mathrm {OM}$ peut se décomposer en deux, l’une $\mathrm {OQ}$ suivant $\mathrm {OG} ,$ l’autre $\mathrm {MQ}$ perpendiculaire à $\mathrm {OG} ,$ qui sera détruite par le passage dans $\Pi ''.$ On a

$\mathrm {OQ} =\mathrm {OM} '\cos g+\mathrm {MM} '\sin g$

ou

$\mathrm {\mathrm {OQ} } =\xi \cos g+\eta \cos g.$

En remplaçant $\xi$ et $\eta ,$ par leurs valeurs, on obtient

$\mathrm {OQ} =\mathrm {A} _{0}\cos g\cos \omega +\mathrm {B} '_{0}\sin g\cos \left(\omega +\theta +\psi \right).$

Pour avoir l’intensité lumineuse en un point $\mathrm {P} ,$ nous allons chercher la valeur moyenne de ${\overline {\mathrm {OQ} }}^{2}$ pour un très grand nombre de vibrations. La valeur moyenne de cette quantité pendant une vibration est

${\frac {1}{2}}\left[\mathrm {A} _{0}^{2}\cos ^{2}g+{\mathrm {B} '_{0}}^{2}\sin ^{2}g+2\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} '_{0}\sin g\cos g\cos \left(\theta +\psi \right)\right]$

Si, avant son passage dans les polariseurs $\Pi$ et $\Pi ',$ la lumière était naturelle, $\theta$ peut prendre une infinité de valeurs, et dans la valeur moyenne de l’expression précédente le terme rec-