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PROPAGATION D’UNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES

Puisque les mouvements sont transversaux, $\Theta =0,$ c’est-à-dire

$\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma =0.$

Telles sont les deux conditions que doivent remplir les coefficients $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ pour que les expressions de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ satisfassent aux équations du mouvement.

51. Si les quantités $\mathrm {A,\,B,\,C} ,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta$ sont réelles, il en sera de même de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta \,;$ mais si une de ces quantités est imaginaire, $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ le seront aussi. Comme les équations du mouvement sont linéaires par rapport aux dérivées du second ordre de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ la partie réelle et la partie imaginaire d’une solution imaginaire devront séparément satisfaire aux équations du mouvement ; on aura donc deux solutions.

Dans l’étude de la lumière on ne rencontre que des solutions imaginaires ; en effet les mouvements lumineux sont toujours des mouvements vibratoires, c’est-à-dire périodiques par rapport au temps. Par suite, les quantités $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ doivent être périodiques par rapport au temps ; si on les met sous la forme d’exponentielles, comme nous venons de le faire, $e^{\mathrm {P} }$ doit prendre la même valeur pour des valeurs de $t$ différant d’une même quantité, $\tau \,;$ il faut donc que l’on ait

$\delta \tau =2i\pi ,$

d’où

$\delta ={\frac {2i\pi }{\tau }}\cdot$

$\delta$ donc imaginaire ; son carré sera négatif, et la relation

$\delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)$

montre que la somme $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}$ doit être négative, ce qui exige que l’une au moins des quantités $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ soit imaginaire.