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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

troisième de $\Theta$ par rapport au temps est nulle pour $t=0.$ Les autres dérivées seraient également nulles, ce qui exige que la fonction $\Theta$ soit identiquement nulle. Les petits mouvements pour lesquels la fonction $\Theta$ est identiquement nulle sont les mouvements appelés transversaux.

35. Considérons les quantités

$u={\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}},\qquad v={\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}},\qquad w={\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}},$

et cherchons l’équation différentielle qui les lie. Pour cela, différentions la seconde des équations (38) par rapport à $z,$ la troisième par rapport à $y,$ et retranchons : nous aurons

$-\rho \left({\frac {d^{2}\eta '_{z}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\zeta '_{y}}{dt^{2}}}\right)=2\mu \left(\Delta {\frac {d\eta }{dz}}-\Delta {\frac {d\zeta }{dy}}\right)+2\nu \left({\frac {d^{2}\Theta }{dy\,dz}}-{\frac {d^{2}\Theta }{dy\,dz}}\right)$

ou

$-\rho {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=2\mu \,\Delta u.$

Nous obtiendrions de la même manière deux autres relations analogues :

${\begin{aligned}-\rho {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&=2\mu \,\Delta v,\\[1.5ex]-\rho {\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}&=2\mu \,\Delta w.\\\end{aligned}}$

Si, pour $t=0,$ les quantités $u,$ $v,$ $w,$ et leurs dérivées du premier ordre sont nulles, les relations précédentes montrent que, pour cette même valeur de $t,$ les dérivées de second ordre le sont aussi. En différentiant ces relations, on en obtiendrait de nouvelles montrant que les dérivées du troisième ordre