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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

avons :

$\int \delta \xi \,d\omega \sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}=\int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}}{dx}}+\int d\tau \sum {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}{\frac {d.\delta \xi }{dx}}$

ou,

$\int d\tau \sum {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}{\frac {d.\delta \xi }{dx}}=\int \delta \xi \,d\omega \sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}-\int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}}{dx}}\cdot$

Le premier membre de cette relation est précisément le terme de l’égalité (34) qui contient la dérivée de $\delta \xi \,;$ remplaçons ce terme par sa valeur, nous obtiendrons :

${\begin{aligned}\int d\omega \,\mathrm {P} _{x}\,\delta \xi +\int \delta \xi \,d\omega \sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}&-\int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}}{dx}}\\&-\int \rho \,d\tau \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi =0\,;\end{aligned}}$

ou, en réunissant sous le même signe les quantités qui subissent la même intégration,

$\int \delta \xi \,d\omega \left(\mathrm {P} _{x}+\sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\right)-\int \delta \xi \,d\tau \left(\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\sum {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}}{dx}}\right)=0.$

Cette égalité devant avoir lieu, quel que soit $\delta \xi ,$ il faut que les coefficients de $\delta \xi \,d\omega$ et de $\delta \xi \,d\tau$ soient nuls ; par conséquent, nous aurons :

(35)

$\mathrm {P} _{x}=-\sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\cdot$