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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

en être de même dans le second membre. Le terme ${\xi '_{y}}^{2}$ s’y trouve avec le coefficient $\mu -\mu _{1}\,;$ le terme $2\xi '_{x}\eta '_{y}$ entrant dans $\Theta ^{2}$ avec le coefficient $1$ et dans $\mathrm {K}$ avec le coefficient ${\frac {1}{2}},$ il est dans le second membre de (29) avec le coefficient $\nu +{\frac {\lambda }{2}}.$ Par conséquent, on a la relation :

$\mu -\mu _{1}=\nu +{\frac {\lambda }{2}}\cdot$

En y remplaçant $\mu -\mu _{1}$ par sa valeur donnée par (30), on obtient :

(32)

$\lambda +\nu =0\,;$

et le nombre des coefficients arbitraires se trouve réduit à deux.

27. En résumé, la fonction $\mathrm {W} _{2}$ relative aux forces intérieures qui résultent de la déformation d’un milieu isotrope est une fonction homogène et du second degré des neuf dérivées des quantités $\xi ,$ qui contient au plus trois coefficients arbitraires $\lambda ,$ $\mu ,$ $\nu .$ Le nombre de ces coefficients pouvant se réduire dans certains cas particuliers, nous aurons :

1^o Trois coefficients arbitraires dans le cas général ;

2^o Deux coefficients quand la pression extérieure est nulle dans l’état d’équilibre et que les forces ne sont pas centrales ;

3^o Deux coefficients quand les forces sont centrales et la pression extérieure différente de zéro dans l’état d’équilibre (hypothèses de Cauchy) ;

4^o Un seul coefficient quand les forces sont centrales et la pression extérieure nulle dans l’état d’équilibre, car, dans ce cas, les relations (31) et (32) sont vérifiées simultanément.